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Uma
pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice
que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide
são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces
laterais é chamado de vértice da pirâmide.
Qualquer estrutura com uma base quadrada e cujas faces se inclinam, regularmente, encontrando-se num ápice.
Uma
pirâmide é classificada como reta quando todas as arestas
laterais
são congruentes,
caso contrário ela é classificada como oblíqua. Uma maneira mais
fácil de identificar uma pirâmide reta é quanto o centro da base
da pirâmide está alinhado com o vértice superior da pirâmide, em
outras palavras, é possível traçar uma reta do vértice ao centro
do polígono
na base da pirâmide.
Uma
outra maneira fácil de identificar uma pirâmide oblíqua é quando
não existe esse alinhamento do vértice superior com o centro do
polígono na base da pirâmide, ou seja, se traçarmos novamente a
reta,
ela não terminará no centro do polígono da base.
Dentre
as pirâmides temos como principais:
- Pirâmide Quadrangular - aquela em que na base tem um quadrilátero.
- Pirâmide Hexagonal - aquela em que na base tem um hexágono.
A
identificação das pirâmides segue essa linha de raciocínio, ou
seja, depende do formado da base da pirâmide.
Elementos
da Pirâmide
Em
uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:
- Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.
- Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.
- Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.
- Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.
- Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.
- Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.
- Apótema: É a altura de cada face lateral.
- Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.
- Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.
Pirâmide regular
Pirâmide
regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal
limitada por um polígono regular. Um polígono regular pode ser
inscrito numa circunferência pegando assim, suas características.
Assim, na base de uma pirâmide regular devemos observar certas
características:
- raio (r)- é a reta traçada do centro do polígono até um dos vértices inferiores.
- aresta da base (ab) - corresponde aos lados do polígono da base.
- apótema da base (a1) - é a reta traçada do centro do polígono da base até o meio de sua aresta.
Em
geral, na pirâmide regular, ainda podemos observar:
- altura da pirâmide (H) - é a reta traçada do vértice superior ao centro do polígono
- aresta lateral (al) - corresponde a aresta dos lados das regiões triangulares da lateral da pirâmide.
- apótema lateral (a2) - é a reta que divide o triângulo da lateral da pirâmide ao meio, formando dois triângulos retângulos simétricos. Ela sai do vértice percorrendo o triângulo lateral, acabando no centro das arestas da base.Caso particular : tetraedro regular
É uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e eqüiláteras. Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. O tetraedro é um caso particular de pirâmide regular.
Calculos da Pirâmide
Área da superfície
Para
o cálculo da área da superfície de uma pirâmide, calculamos a
área da base (Ab), a área das laterais (Al), e somamos as duas,
formando a área total (At). Quando sabe-se que os triângulos das
laterais são equiláteros, usamos a fórmula dos triângulos
equiláteros, mas caso não tenha sido dada nenhuma informação
sobre esses triângulos, usaremos a fórmula de um triângulo qualquer
que é onde b, é a base do triângulo, e h é a altura do
triângulo, lembrando que, a altura do triângulo corresponde a
apótema lateral da pirâmide. Para descobrir as medidas que não
temos na pirâmide, mas são necessárias, usaremos suas
características (raio, apótema da base, aresta da base, aresta
lateral, altura da pirâmide, aresta lateral), para descobrir a
medida dos outros através do teorema
de Pitágoras,
pois, poderemos observar a formação de triângulos retângulos na
base da pirâmide, verticalmente dentro da pirâmide.
Área
da base ( A b )
A
b =
área do polígono da base
Exemplo:
A
aresta da base de uma pirâmide regular quadrangular mede 4 cm. Calcule
a área da base:
(Ab)=
4 x 4 = 16cm²
Área
Lateral de uma pirâmide
Se
considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n
lados e indicarmos por A(face)
a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas
das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode
ser obtida por:
A(lateral)
= n A(face)
Exemplo:
Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura
abaixo, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.
Como
A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4
triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de
um dos triângulos, assim:
- A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12
A(lateral) = 4.12 = 48 cm²
Área total de uma Pirâmide
A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)
Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?
Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:
A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324
A(lateral) = 4.162 = 648
A(base) = 18² = 324
Concluímos que:
A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970
Volume
Para o cálculo do volume de uma pirâmide usamos uma fórmula fixa dada por: , V= B X H ,onde B é a area da base da piramide e H é a altura.
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Exemplo : Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16cm².
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Exemplo : Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.
Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16cm².
Curiosidades:
Em arquitetura, as pirâmides são construções em
formato piramidal que usualmente possuem base quadrangular, superfícies lisas ou em degraus. As mais notórias certamente são as do Egito, mas tais construções também foram realizadas entre diversos povos ameríndios, dente outros.
As pirâmides, monumentos funerários de especial forma geométrica, existiram em países de civilização primitiva, como a Assíria, a Caldéia, o México, e em particular, o Egito, onde sua construção atingiu o maior esplendor. Nesse país, elas se destinavam a conservar para
a eternidade os sarcófagos com múmias dos faraós, de suas esposas, sacerdotes e grandes da corte.
Pirâmide do Egito
Pirâmide Maia
Pirâmide Inca
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About Me
- MATEMATICA EM ACÃO
- Professora de Matemática, Pós-Graduada em Matemática e Física, Mãe da Patrícia e do Bruno. Tem gente que tem cheiro de passarinho quando canta. De sol quando acorda. De flor quando ri. Ao lado delas, a gente se sente no balanço de uma rede que dança gostoso numa tarde grande, sem relógio e sem agenda. Ao lado delas, a gente se sente comendo pipoca na praça. Lambuzando o queixo de sorvete. Melando os dedos com algodão doce da cor mais doce que tem pra escolher. O tempo é outro. E a vida fica com a cara que ela tem de verdade, mas que a gente desaprende de ver.
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